大学の試験対策用に作りました。

ラグランジュ形式

オイラーラグランジュ方程式

$$\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{q_i}}=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{q}_i}\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\_i\}\}=\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}$$ $$\frac{d}{dt}{p}_i=F_i\backslash frac\{d\}\{dt\}p\_i=F\_i$$

一般化力

$$F_i=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{q}_i}F\_i=\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_i\}$$

一般化運動量

$$p_i=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{q_i}}p\_i=\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\_i\}\}$$

エネルギー

$$E(t)=\left(\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i\right)-LE(t)=\backslash left(\backslash sum\_i\backslash dot\; q\_ip\_i\backslash right)-L$$

ラグランジアンの不定性（オイラーラグランジュ方程式が一致）

$$\tilde{L}:=L+\frac{d}{dt}f(q,t)\backslash tilde\; L:=L+\backslash frac\; d\{dt\}f(q,t)$$

これはラグランジアンが対称性を持つ条件でもある。

ホロノミック（拘束条件 $cc$ が $\dot{q}\backslash dot\; q$ を含まない）な拘束条件がある時の作用の停留条件

$$\tilde{S}[q,\lambda ]=S[q]+{\int }_{t_i}^{t_f}dt\sum _{\gamma }{\lambda }_{\gamma }(t)c_{\gamma }(q,t)={\int }_{t_i}^{t_f}dt\tilde{L}(q,\dot{q},\lambda ,t)\backslash tilde\; S[q,\backslash lambda]=S[q]+\backslash int\_\{t\_i\}^\{t\_f\}dt\backslash sum\_\backslash gamma\; \backslash lambda\_\backslash gamma(t)c\_\backslash gamma(q,t)=\backslash int\_\{t\_i\}^\{t\_f\}dt\backslash tilde\; L(q,\backslash dot\; q,\backslash lambda,t)$$ $$\tilde{L}(q,\dot{q},\lambda ,t)=L(q,\dot{q},t)+\sum _{\gamma }{\lambda }_{\gamma }(t)c_{\gamma }(q,t)\backslash tilde\; L(q,\backslash dot\; q,\backslash lambda,t)=L(q,\backslash dot\; q,t)+\backslash sum\_\backslash gamma\; \backslash lambda\_\backslash gamma(t)c\_\backslash gamma(q,t)$$

$\tilde{L}\backslash tilde\; L$ に対する $q,\lambda q,\backslash lambda$ のオイラーラグランジュ方程式を解けば良い。（ $\lambda \backslash lambda$ は時間依存なことに注意 ）

ネーターの定理

無限小変換が

$$Q=q+ϵF(q,t)+O({ϵ}^2)Q=q+\backslash epsilon\; F(q,t)+O(\backslash epsilon^2)$$

で与えられる連続対称性がある、つまりラグランジアンの変化分が

$$f(q,t)=ϵ\mathrm{\Lambda }(q,t)+O({ϵ}^2)f(q,t)=\backslash epsilon\; \backslash Lambda(q,t)+O(\backslash epsilon^2)$$

を用いた不定性 ${\displaystyle \frac{d}{dt}}f\backslash dfrac\; d\{dt\}f$ の範囲に収まる時、ネーター保存量

$$\mathcal{Q}:=\sum _i{F}_i{p}_i-\mathrm{\Lambda }\backslash mathcal\; Q:=\backslash sum\_iF\_ip\_i-\backslash Lambda$$

が保存。また、この時

$$Q=q+ϵ\{q,\mathcal{Q}\}+O({ϵ}^2)Q=q+\backslash epsilon\backslash \{q,\backslash mathcal\; Q\backslash \}+O(\backslash epsilon^2)$$

が成立するため、 ネーター保存量 $\mathcal{Q}\backslash mathcal\; Q$ はこの無限小変換の生成子である。

ハミルトンの主関数

$$S(q(t_f),q(t_i),t_f,t_i):={\int }_{t_i}^{t_f}dtL(q,\dot{q},t)S(q(t\_f),q(t\_i),t\_f,t\_i):=\backslash int\_\{t\_i\}^\{t\_f\}dtL(q,\backslash dot\; q,t)$$

ハミルトン形式

正準方程式

$$\dot{q}=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }p},\dot{p}=-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }q}\backslash dot\; q=\backslash frac\{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; p\},\backslash quad\backslash dot\; p=-\backslash frac\{\backslash partial\; H\}\{\backslash partial\; q\}$$

ポアソン括弧

$$\{f,g\}:=\sum _i(\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{q}_i}\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }{p}_i}-\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }{p}_i}\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }{q}_i})\backslash \{f,g\backslash \}:=\backslash sum\_i\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_i\}\backslash frac\{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; p\_i\}-\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; p\_i\}\backslash frac\{\backslash partial\; g\}\{\backslash partial\; q\_i\}\backslash right)$$

基本ポアソン括弧は

$$\{q_i,p_j\}={\delta }_{ij},\{q_i,q_j\}=\{p_i,p_j\}=0\backslash \{q\_i,p\_j\backslash \}=\backslash delta\_\{ij\},\backslash quad\; \backslash \{q\_i,q\_j\backslash \}=\backslash \{p\_i,p\_j\backslash \}=0$$

であり、

$$\frac{d}{dt}f(q,p,t)=\{f,H\}+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}f\backslash frac\; d\{dt\}f(q,p,t)=\backslash \{f,H\backslash \}+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}f$$

より、正準方程式は

$$\dot{q}=\{q,H\},\dot{p}=\{p,H\}\backslash dot\; q=\backslash \{q,H\backslash \},\backslash quad\backslash dot\; p=\backslash \{p,H\backslash \}$$

となる。

性質

$$\{f,g\}=-\{g,f\}\backslash \{f,g\backslash \}=-\backslash \{g,f\backslash \}$$ $$\{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha \{f,h\}+\beta \{g,h\}\backslash \{\backslash alpha\; f+\backslash beta\; g,h\backslash \}=\backslash alpha\backslash \{f,h\backslash \}+\backslash beta\backslash \{g,h\backslash \}$$ $$\{fg,h\}=\{f,h\}g+\{g,h\}f\backslash \{fg,h\backslash \}=\backslash \{f,h\backslash \}g+\backslash \{g,h\backslash \}f$$ $$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0\backslash \{f,\backslash \{g,h\backslash \}\backslash \}+\backslash \{g,\backslash \{h,f\backslash \}\backslash \}+\backslash \{h,\backslash \{f,g\backslash \}\backslash \}=0$$

正準変換

母関数による変換

$q,Qq,Q$ を独立変数にした母関数による変換

$$p_i=\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_1(q,Q,t)}{\mathrm{\partial }{q}_i},P_i=-\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_1(q,Q,t)}{\mathrm{\partial }{Q}_i}p\_i=\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; F\_1(q,Q,t)\}\{\backslash partial\; q\_i\},\backslash quad\; P\_i=-\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; F\_1(q,Q,t)\}\{\backslash partial\; Q\_i\}$$ $$K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_1(q,Q,t)}{\mathrm{\partial }t}K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; F\_1(q,Q,t)\}\{\backslash partial\; t\}$$

$q,Pq,P$ を独立変数にした母関数による変換

$$p_i=\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_2(q,P,t)}{\mathrm{\partial }{q}_i},Q_i=\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_2(q,P,t)}{\mathrm{\partial }{P}_i}p\_i=\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; F\_2(q,P,t)\}\{\backslash partial\; q\_i\},\backslash quad\; Q\_i=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; F\_2(q,P,t)\}\{\backslash partial\; P\_i\}$$ $$K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_2(q,P,t)}{\mathrm{\partial }t}K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; F\_2(q,P,t)\}\{\backslash partial\; t\}$$

無限小正準変換

生成子 $\mathcal{G}(q,p,t)\backslash mathcal\; G(q,p,t)$ を用いて、無限小正準変換は

$$Q=q+ϵ\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{G}}{\mathrm{\partial }p}+O({ϵ}^2)=q+ϵ\{q,\mathcal{G}\}+O({ϵ}^2)Q=q+\backslash epsilon\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; G\}\{\backslash partial\; p\}+O(\backslash epsilon^2)=q+\backslash epsilon\backslash \{q,\backslash mathcal\; G\backslash \}+O(\backslash epsilon^2)$$ $$P=p-ϵ\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{G}}{\mathrm{\partial }q}+O({ϵ}^2)=p+ϵ\{p,\mathcal{G}\}+O({ϵ}^2)P=p-\backslash epsilon\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; G\}\{\backslash partial\; q\}+O(\backslash epsilon^2)=p+\backslash epsilon\backslash \{p,\backslash mathcal\; G\backslash \}+O(\backslash epsilon^2)$$

とかけ、任意の関数は

$$f(Q,P,t)=f(q,p,t)+ϵ\{f,\mathcal{G}\}+O({ϵ}^2)f(Q,P,t)=f(q,p,t)+\backslash epsilon\backslash \{f,\backslash mathcal\; G\backslash \}+O(\backslash epsilon^2)$$

と変換される。

対称性の条件

ハミルトン形式での対称性の条件は

$$K(Q,P,t)=H(q,p,t)K(Q,P,t)=H(q,p,t)$$

である。ラグランジアンとは違って不定性はない。

無限小変換における対称性の条件は

$$\{\mathcal{G},H\}+\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{G}}{\mathrm{\partial }t}=0\backslash \{\backslash mathcal\; G,H\backslash \}+\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; G\}\{\backslash partial\; t\}=0$$

であるが、

$$\frac{d}{dt}\mathcal{G}=\{\mathcal{G},H\}+\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{G}}{\mathrm{\partial }t}=0\backslash frac\; d\{dt\}\backslash mathcal\; G=\backslash \{\backslash mathcal\; G,H\backslash \}+\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\; G\}\{\backslash partial\; t\}=0$$

より、生成子が保存量となっている。

生成子が時間に陽に依存しないならば、

$$\{\mathcal{G},H\}=0\backslash \{\backslash mathcal\; G,H\backslash \}=0$$

のように交換することが条件となる。

ハミルトン・ヤコビ理論

母関数 ${\mathcal{F}}_1(q,Q,t)\backslash mathcal\; F\_1(q,Q,t)$ による正準変換によって、

$$K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\frac{\mathrm{\partial }{\mathcal{F}}_{\mathcal{1}}}{\mathrm{\partial }t}=0K(Q,P,t)=H(q,p,t)+\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\{F\_1\}\}\{\backslash partial\; t\}=0$$

とハミルトニアンが0になった時、この母関数を $\mathcal{S}(q,Q,t)\backslash mathcal\; S(q,Q,t)$ とする。

この母関数はハミルトン・ヤコビ方程式

$$-\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{S}}{\mathrm{\partial }t}=H(q,\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{S}}{\mathrm{\partial }q},t)-\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; S\}\{\backslash partial\; t\}=H\backslash left(q,\backslash frac\{\backslash partial\backslash mathcal\; S\}\{\backslash partial\; q\},t\backslash right)$$

の解として与えられる。（移項しただけ）

この時、初期位置 $Q=q(t_i)Q=q(t\_i)$ と初期運動量 $P=p(t_{\mathrm{i}})P=p(t\_\backslash mathrm\; i)$ を定数にとった場合の解はハミルトンの主関数に等しい。

$$\mathcal{S}(q(t),q(t_{\mathrm{i}}),t)=S(q(t),q(t_{\mathrm{i}}),t,t_{\mathrm{i}})\backslash mathcal\; S(q(t),q(t\_\backslash mathrm\; i),t)=S(q(t),q(t\_\backslash mathrm\; i),t,t\_\backslash mathrm\; i)$$

荷電粒子

ラグランジアン

$$L=\frac{m}{2}{\dot{\mathit{r}}}^2+e\dot{\mathit{r}}\cdot \mathit{A}-e\varphi L=\backslash frac\{m\}\{2\}\backslash dot\{\backslash bm\; r\}^2+e\backslash dot\{\backslash bm\; r\}\backslash cdot\; \backslash bm\; A-e\backslash phi$$

ハミルトニアン

$$H=\frac{1}{2m}(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^2+e\varphi H=\backslash frac1\{2m\}(\backslash bm\; p-e\backslash bm\; A)^2+e\backslash phi$$

一般化運動量

$$\mathit{p}=m\dot{\mathit{r}}+e\mathit{A}\backslash bm\; p=m\backslash dot\{\backslash bm\; r\}+e\backslash bm\; A$$